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2017年12月18日 星期一

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  通过学习,把人类历史发展过程中形成的数学概念转化为自己的经验,并在运用中加以巩固和深化的过程。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间关系的本质特征的一种反映形式,即一种数学的思维形式。在数学中,作为一般的思维形式的判断和推理,以定理、法则、公式的方式表现出来,而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念,是掌握数学基础知识和运算技能发展逻辑论证和空间想象能力的前提。
  正确地理解和形成一个数学概念,必须明确这个数学概念的内涵──对象的“质”的特征,及其外延──对象的“量”的范围。一般地说,数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前,有一个通过实例、练习以及口头描述来理解的阶段。儿童对自然数,对运算结果──和、 差、 积、商的理解,都是这样的。到小学高年级,开始出现以文字表达一个数学概念,即定义的方式,如分数、比例。有些数学概念要经过长期的酝酿,最后才以定义的形式表达,如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。
  许多数学概念需要用数学符号来表示。如logay(a>0,a≠1)表示以a为底y的对数;dy表示函数y的微分。数学符号是表达数学概念的一种独特方式,对学生理解和形成数学概念起着极大的作用,它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义都是用数学符号来表达,从而增强了科学性。
  许多数学概念还需要用图形来表示。有些数学概念本身就是图形,如平行四边形、棱锥、双曲线。有些数学概念可以用图形来表示(如图)。有些数学概念具有几何意义,如函数的微分(如图)。数形结合是表达数学概念的又一独特方式,它把数学概念形象化、数量化了。

数学概念掌握数学概念掌握

  数学概念是在人类历史发展过程中,逐步形成和发展的。学生对数学概念的掌握,则是获得前人积累起来的现成的经验,但也不是一个简单的传递过程,不是被动的接受。学生理解和形成数学概念是一种主动的心理过程,在掌握过程中实现活动,把教师传授的知识纳入自己已有的经验系统中,从而按照自己的方式理解这个概念,或者改造自己的原有的经验而形成新的经验。瑞士心理学家J.皮亚杰以同化(assimilation)和顺应(accom-modation) 这两个概念来解释儿童认识客观事物的过程。同化是把客观刺激整合于主体正在形成或已经形成的经验系统之内。顺应是由于受到客观刺激的影响而改变原有的经验系统,形成新的经验系统。这个理论同样适用于数学概念的掌握。
  通过同化与顺应,儿童的数学概念不断扩展、加深,由低级的抽象到高级的抽象,逐步形成了自己的数学概念系统或概念结构。以数概念为例,由小学阶段到中学阶段,经过三次扩充:非负有理数集合──有理数集合──实数集合──复数集合,每次都是丰富或改变了原有的概念,而形成了新的概念系统。用字母表示数,是儿童数概念的一个质的习跃。字母不但可以表示数,而且可以表示一个数群,如 A可以表示一个集合。字母还可以表示特定的数量关系,如f(x)表示x的函数。用字母表示数的心理学意义在于:有助于揭示概念的本质特征,形成公式,使思维过程简约化,易于形成概念系统。数学概念系统之间又彼此组合,互相联系,形成外延更广的新的系统。这对于学生牢固地掌握数学概念是有重大意义的。
  学生对数学概念的掌握,需要经过由具体到抽象的过程。这就是:通过对对象的充分感知,掌握数学概念的本质特征;通过变式,区别非本质特征,突出本质特征;通过比较,认识有关数学概念的联系和区别,形成概念系统。根据中国近年来关于儿童数概念的研究,儿童对数概念的认识可以区分为直接认识和间接认识两个方面;但两者是一个有机的整体,互相作用,其间并没有绝对分明的界限。而在认知的发展上,则前者是基础。儿童对数学概念的认识也是如此。随着数学知识的加深,数学概念的抽象程度也越来越高,由抽象到抽象。但是也不是完全与具体认识脱节,例如集合和映射,都是可以由具体事物引入的。
  学生对数学概念的掌握,还需要通过运用,才能加深理解,真正成为自己的经验。在运用中,学生必须识别应该用什么概念,区别相似而又不相同的概念,了解这一概念的上下从属关系。因此,运用数学概念解答问题,可以巩固和加深对概念的理解,丰富对概念的本质特征的认识,培养学生对数学概念的选择、判断和联系的能力。通过运用,学生对这些概念就有了具体的感受,从而提高了掌握它们的兴趣和自觉性,感到它们真正成为自己的经验。数学概念还通过运算而得到运用。在幼儿的起始阶段,数概念总是和计算同时发生而不可分的。在以后,概念和运算仍然有密切的联系。正确地掌握数学概念可以导致正确的运算,而某些运算的错误常常来自概念不清。运算是一种动脑动手的实践活动,是学生深刻地掌握数学概念的重要途径。
  参考书目
 潘菽主编:《教育心理学》,人民教育出版社,北京,1980。
 曹日昌主编:《普通心理学》,人民教育出版社,北京,1979~1980。

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更新时间 : 2009-06-30

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