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2017年12月13日 星期三

丁酉(鸡)年十月廿六

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  研究物理或数学过程的一种随机模型的计算方法。蒙特-卡罗法是以随机抽样技巧作为工具的一门近代数值分析的学科。
  蒙特-卡罗法的思想提出虽然较早,但系统性的研究实开始于1944年前后。当时由于研制原子弹,需要研究中子在裂变物质中的输运,提出了一些不易用一般数学方法求解的问题。J.冯·诺埃曼、S.乌拉姆和E.费密等发展了这个用直接模拟物理过程的方法,解决了这些当时不易解决的难题。在研究宇宙线簇射中的问题时,也使用了这个方法。
  蒙特-卡罗法可以用来求解两类问题。第一类问题称之为概率问题,用直接模拟某种物理过程的方法解决。为了说明求解概率问题的方法,现举一个γ射线对有限厚度的平板媒质的穿透问题(图1)作为例子。

蒙特-卡罗法

  为了简单起见,只限于在垂直于平板媒质的平面内讨论。假定γ射线是单能的,发出光子的波长为λ0。单向发射与平板媒质面的法线所成的角度为Θ0。则光子从进入媒质的点x0出发,在有限平板媒质中第一次发生碰撞的位置x1,可由概率密度

蒙特-卡罗法

决定, 其中σ0)是波长为λ0的光子的总截面。具体地说,x1是这样决定的,在电子计算机上产生一随机数ξ1,由下列公式可以决定x1

蒙特-卡罗法

  其次,根据媒质对光子的吸收截面,决定它是否被吸收。如σα(λ0)是吸收截面,σS0)是散射截面, 当γ射线能量不高时,可以简单地认为

蒙特-卡罗法

再由电子计算机产生一随机数ξ2,如蒙特-卡罗法,则光子被吸收,不然则未被吸收。如被吸收,则须重取一光子,从头开始这个过程;如未吸收,则从克莱因-仁科公式和康普顿公式(见光的量子理论)决定光子经过一次散射后的波长λ1,和光子散射前与散射后的方向之间的夹角ω,由此可定出光子散射后的方向。决定λ1ω的随机抽样技巧,不拟在此多述。连续使用这样的过程,就可研究光子在媒质中的行为。所以追踪一个光子行为的过程是这样的:先定光子的碰撞位置,然后再定光子的波长改变和方向改变,对一个光子一直追踪下去,直到它被吸收,或被反射出这个平板媒质,或穿透过这个平板媒质。
  以后再取一个光子,用上面所述的办法进行追踪。如果所取的总的光子样品数目为N,其中m个光子通过平板媒质,则穿透几率ρ便为

ρm/N

  蒙特-卡罗法解决的第二类问题,是所谓定数问题。在解定数问题时,必须把问题化为相适应的能作模拟的概率问题。
  这里举求定积分的问题作为例子。求定积分是一个定数问题,它可以化为打靶问题,而打靶问题是概率问题。例如计算定积分

蒙特-卡罗法

  假定f(x)在0≤x≤1之间是处于0与1之间,即0<f(x)<1。积分I为曲线yf(x),y=0,x=1,x=0所包的面积之值。
  要求积分I,可以先设制一个正方靶(0≤x≤1;0≤y≤1)在这正方靶内,作曲线yf(x)(图2),并对这靶投射黑点。假定投射在单位正方形靶内任意点(x,y)的概率相等,如果点落在曲线yf(x)的下面或刚落在这曲线上【即当yf(x)】,则认为事件A实现;如果点落在曲线yf(x)的上方【即yf(x)】,则认为事件A不实现。可以证明,事件A实现的概率即是这积分之值。

蒙特-卡罗法

  根据上面的思想,可以在电子计算机上具体模拟射靶过程。在电子计算机上产生均匀分布于 (0,1)区域内的两个独立随机变数ξ和η,用来表示射靶试验所射到的点的坐标。因为随机变数在区域 (0,1)内出现的机会均等,而且它们之间是彼此独立的,因此所产生的点(ξ,η)显然均匀地落在正方形内。
  从上述产生的随机数ξi与ηi,定义

蒙特-卡罗法

  假定试验进行了N次,则求得事件A实现的概率近似地为积分I的值

蒙特-卡罗法

  其他如线性代数方程组、微分方程、积分方程均可用蒙特-卡罗法求解。此外,它还可以很方便地用于多维、多因素问题的计算。
  这方法不仅在原子能应用中大量使用,目前在粒子物理、原子核物理、固体物理、统计物理、高分子化学、军事科学、气象科学、医学、地质学、线性规划等领域均已广泛应用。
  蒙特-卡罗法在近30年来所以能有这样大的发展,与快速电子计算机的广泛使用分不开。凡用蒙特-卡罗法模拟一个问题时,往往需要进行大量的抽样,而抽样过程靠电子计算机进行。如果要求计算结果的概率误差愈小,所抽的样品应愈多,因此计算量相当大,没有现代计算技术,很难设想蒙特-卡罗法会有今天这样的发展。可以预料,随着计算技术的进一步发展,蒙特-卡罗法将会有更大的发展。
  参考书目
 C. D. Zerby,Methods in Computational Physics,Vol.1, Academic Press, New York and London,1963.
 J. Spanier and E. M. Gelbard, Monte CarloPrinciples and Neutron Transport Problems, Addison-Wesley, Reading, Mass.,1969.

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更新时间 : 2009-06-29

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