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2017年12月12日 星期二

丁酉(鸡)年十月廿五

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  中国宋元时期数学家创造的一种开方和求高次方程数值解的方法。它由11世纪的贾宪首创,中经12世纪的刘益,到13世纪秦九韶最后完成。19世纪欧洲出现的霍纳法的步骤以及现代数学中综合除法的原理与它相同。
  贾宪增乘开方法 据杨辉《九章算法纂类》记载,贾宪创造了增乘开平方法和增乘开立方法,它不是一次运用贾宪三角中的系数,而是采用随乘随加的方法得到减根方程。如求x3=N的正根,设立方根有n+1位整数,先列开方式(1)

增乘开方法

“实上商置第一位得数,以上商乘下法,置廉,乘廉为方,除实讫”。如(2)。其中商数10nx1x1入算。如除尽,则10nx1就是所求根。否则,“复以上商乘下法入廉,乘廉为方”,如(3)。“又乘下法入廉,其方一、廉二、下三退”。如(4),(4)是减根方程增乘开方法增乘开方法。再对(4)式重复上述步骤,直到求出所需要的答数。这种方法,程序整齐,运算简捷,既可以直接推广到任意高次幂的开方,又可以运用到求高次方程的数值解。
  刘益的贡献 刘益,中山(今河北省定县)人,生活于12世纪,杨辉说:“刘益以勾股之术治演段锁方,《议古根源》二百问,带益隅开方,实冠前古”《算法通变本末》(卷上)。《议古根源》今已失传,杨辉的著作里保存了其中部分题目。到贾宪为止,中国数学家考虑的方程首项系数均为1,并且从未考虑过负系数方程。刘益首先打破了这个界限,考虑了许多含有“负方”或“益隅”(甚至首项系数不为1)即形如x2-bx=с或-αx2+bx=с的方程(α,b,с均大于0),并创造了“益积术”和“减从术”解决之。这两种方法尚不是增乘开方法,但首先考虑一般系数方程,是中国方程发展史上一项极其重要的成就。同时,刘益还首次认识到减根方程中有常数项或一次项系数变号的情况。
  秦九韶的正负开方术 秦九韶《数书九章》(1247)81个问题中有21个问题26个开方式用增乘开方法求正根。他在贾宪、刘益的基础上,系统地总结了这一成就,又作了创新。在他之前出现的方程中,"实"都是正数,开方式相当于常数项在方程右端。秦九韶规定“实常为负”相当于方程中常数项与未知数系数放在一端,这样正负相消,可以把增乘开方的随乘随加进行到底。开方式的其他系数不再有任何限制,可正可负,也可以是整数,也可以是小数。开方过程中,常数项一般越来越大,最后变成或接近于零。但有时会由负变正。他称之为“换骨”,而将全部开方过程称为“开翻法某乘方”;有时常数项符号不变,但绝对值增大,他称之为“投胎”。如卷五“尖田求积”题的"开翻法三乘方",该题需解方程-x4+763200x2-40642560000=0,其开方过程如下。① 列开方式:开玲珑三乘方。② 上廉超一位,益隅超三位,商数进一位。上廉再超一位,益隅再超三位,商数再进一位,上商八百为定。③以商生隅,入益下廉,以商生下廉,廉,入方,以商生方,得正积,乃与实相消。以负实消正积,其积乃有余,为正实,谓之“换骨”。④ 一变:以商生隅,入下廉。以商生下廉,入上廉内,相消。以正负上廉相消。以商生上廉,入方内,相消。以正负方相消。⑤二变:以商生隅,入下廉;以商生下廉,入上廉。⑥ 三变:以商生隅,入下廉。⑦四变:方一退,上廉二退,下廉三退,隅四退;商续置。⑧以方约实,续商置四十,生隅入下廉内。以商生下廉,入上廉内。以商生上廉,入方内。以续商四十命方法,除实,适尽。所得商数八百四十步,为田积。

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  当方程的根不是整数时,秦九韶用下列方法处理。
  ①“连枝同体术”,在α0x2+α1=0中,若首项系数α0是非平方数,则进行增乘开方法的代换,将首项系数变成1求解。
  ② 命分法,求出根的整数部分,进行减根变换后,秦九韶以减根方程的方、廉,隅各数的和为分母,余实为分子的分数表示根的非整数部分。
  ③ 继续开方求十进小数。
  显然,这些方法都是《九章算术》及其刘徽注有关思想的发展。
  李冶、朱世杰的贡献 李冶朱世杰的方程均由天元术得到,其未知数系数和常数项都可正可负,没有“实常为负”的规定,这是一个很大的进步。李冶运用增乘开方法时,也考虑了常数项变号和绝对值增大的情况,在求|α0|≠1的一般二次方程的有理根时,李冶进行代换增乘开方法求解。朱世杰把这种方法推广到求三次、四次方程的有理正根。有不可磨灭的功绩。
  李锐等人的贡献 入明以后四百多年间,增乘开方法和宋元许多重大数学成就一样,无人通晓,几乎成为绝学。清中叶编纂《四库全书》后,中国古典数学受到重视,焦循、汪莱李锐研究增乘开方法很有成就。汪莱讨论了有正根与无正根的方程,正根与各系数正负号的关系。李锐更精辟地总结了正根与系数符号的关系法则,得到与R.笛卡儿同样的结果。他还发现方程可能有负根,并用增乘开方法求负根,指出方程可能有重根,讨论了方程次数与实根个数的关系,使中国方程论形成一门比较完整的学科。

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更新时间 : 2009-07-01

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