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2017年12月17日 星期日

丁酉(鸡)年十月三十

维纳-霍普夫方程 - 维纳-霍普夫方程 [回目录]

维纳-霍普夫方程 - 正文 [回目录]

  一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程,其一般形式为

维纳-霍普夫方程 (1)

式中μ为常数;k(x)(-∞<x<+∞)和ƒ(x)(0≤x<+∞)为已知函数;φ(x)(0<x<+∞)为未知函数。
  方程(1)的研究开始于20世纪20年代初,它早期的著名例子是辐射传输理论中的米尔恩方程,后来因1931年N.维纳和E.霍普夫给出其求解方法而得名。20世纪40年代以后,这一方程的理论在解析函数边值问题、调和分析和算子理论的基础上得到了系统的发展,其应用也从辐射问题扩展到许多其他领域,例如中子迁移、电磁波衍射、控制论、多体问题以及人口理论等。
  维纳-霍普夫方法 又称因子分解法,是N.维纳和E.霍普夫为求解方程(1)而提出的,已成为研究各种数学物理问题的一种常用方法。其基本思想是通过积分变换将原方程化为一个泛函方程,然后再用函数因子分解的方法来求解。下面以方程(1)的求解为例来加以说明。 在x<0处,令φ(x)=ƒ(x)=0,首先将方程(1)开拓到整个实轴,即

维纳-霍普夫方程

式中

维纳-霍普夫方程

若(2)中诸函数满足适当的条件,例如,存在h>0使得k(x)e维纳-霍普夫方程,φ(x)ehxƒ(x)ehx属于L1(-∞,+∞),则借助于傅里叶变换由(2)可得

维纳-霍普夫方程

这里和下文大写字母均表示相应函数的傅里叶变换,而大写字母的下标+和-则分别表示该函数在半平面τ>-h和τ<h内解析。在许多情况下,对(3)可求出解的表达式。求解的关键在于将H(λ)=μ-K(λ)因子分解。一个常用的分解定理是,设H(λ)在|λ|<h内解析、无零点且一致地有维纳-霍普夫方程则存在分解

维纳-霍普夫方程

式中H+(λ)和H-(λ)可由H(λ)求出,它们在相应半平面内无零点。由于在所述条件下,F+(λ)/H-(λ)在|τ|<h内解析,维纳-霍普夫方程由柯西积分公式知,

维纳-霍普夫方程

这里C+(λ)和C-(λ)可用维纳-霍普夫方程来表示,因而由(3)得到维纳-霍普夫方程由此利用解析开拓和广义刘维尔定理求出φ+(λ)和ψ-(λ)(准确到相差一个整函数),然后再对φ+(λ)进行傅里叶逆变换即可求得方程(1)的解φ(x)。
  当仅假定k(λ)∈L1(-∞,+∞)和μ-K(σ)≠0(-∞≤σ≤+∞)时,μ-K(σ)也有类似分解,这时需要用到调和分析理论中的维纳-莱维定理。由此应用巴拿赫空间中的算子理论,还可在一般函数空间,例如

维纳-霍普夫方程

有界可测函数空间和有界连续函数空间中对方程 (1)进行求解。
  主要结果 用E记上述函数空间。方程(1)的一个重要特点是其中积分仅是相应函数空间中的有界算子,而不是全连续算子,因此它和弗雷德霍姆积分方程在性质上有着本质的不同。这主要表现在:①齐次方程(1)和它的共轭方程线性无关解的个数一般不相等,它们的差等于

维纳-霍普夫方程

整数v(μ)称为方程(1)的指标;②方程(1)的谱点一般为连续统,其中复平面闭曲线μ=K(σ)(-∞≤σ≤+∞)上的点为本质谱,亦即对于全连续算子微扰不变的谱,而使得v(μ)>0的点μ为方程(1)的点谱。
  函数 μ-K(σ)称为方程(1)的符号。当符号无零点时,方程(1)称为正常的,否则称为例外的。对于正常方程,已经有了较系统的结果,其中主要有:① 设kx)∈L1(-∞,+∞),则方程(1)在E中满足诺特定理(见奇异积分方程)的充分必要条件为μ-K(λ)≠0(-∞≤σ≤+∞),故正常方程有时也称为诺特型方程;②当v(μ)>0时,齐次方程(1)在E中有v(μ)个线性无关解,v(μ)≤0时无非零解;③当v(μ)>0时,非齐次方程(1)在E中有v(μ)个线性无关解,v(μ)=0时,有惟一解,v(μ)<0时,无解或有惟一解,有解的充分必要条件是其右端满足条件

维纳-霍普夫方程

式中ψk(x)是方程(1)的共轭方程

维纳-霍普夫方程

的线性无关解。至于例外方程,也有不少结果,但尚无系统理论。
  以上结果在作相应修改后,对于对偶积分方程、方程 (1)的离散形式特普利茨方程以及有关方程组也都同样成立。
  参考书目
 S.Prssdorf,Some Classes of Singular Equations,North-Holland,Amsterdam,1978.
 B.Noble,Method based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of partial Differential Equations, Pergamon Press, London, 1958.

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更新时间 : 2009-03-25

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