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2017年12月15日 星期五

丁酉(鸡)年十月廿八

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随机过程的极限定理 - 正文 [回目录]

  讨论一列随机过程概率分布和样本函数极限性质的一类定理。在实值随机过程样本函数所构成的函数空间(简称样本空间)上,依不同情况引进函数间的距离,使它成为度量空间,随机过程序列 xn={xn(t),tT},n=1,2,…,在此样本空间上导出的概率分布序列记为{pn}。将分布函数序列{Fn}的弱收敛概念加以推广,可以研究序列{pn}的弱收敛问题,也可以研究过程样本函数列以概率1收敛的问题,后者有时也称为强收敛问题。
  概率测度弱收敛 用 ε表示度量空间E上的波莱尔域,即由E中的开集全体生成的σ域。设pn(n=1,2,…),p为可测度量空间(E,ε)上的概率测度,若对ε中的任一集合A,只要其边界嬠Ap测度p(嬠A)为零,就有

随机过程的极限定理

则称概率测度序列{pn}弱收敛到 p。在弱收敛性的讨论中,下列两个特殊的度量空间占有特别重要的地位,一个是由区间【0,1】上全体连续函数所组成的空间 C【0,1】,它关于一致距离随机过程的极限定理是可分完备的;另一个是区间【0, 1】上右连续、左极限存在的函数全体所组成的空间D【0,1】,引进适当的距离(斯科罗霍德距离)可使它成为可分完备度量空间。
  唐斯克不变原理 1946年P.爱尔特希和M.卡茨在讨论独立同分布随机变量序列{ξn}的部分和随机过程的极限定理的某些连续泛函(如随机过程的极限定理)的极限分布时,发现其极限分布与ξn原始的公共分布无关, 这样为了求极限分布,只要就ξn服从特殊且简单的公共分布的情形求出即可。由于极限分布不随原始分布的变化而改变,以后就称这种性质为“爱尔特希-卡茨不变原理”。1949年 J.L.杜布指出柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫统计量的极限分布与布朗桥的上确界的分布相同,这一事实引起概率统计学界的注意。1951年,M.唐斯克首先证明了下列著名的不变原理:设{ξn,n≥1}是独立同分布随机变量序列,其公共分布具有零均值Eξn=0和有限方差随机过程的极限定理随机过程的极限定理随机过程的极限定理是它的部分和序列,考虑由部分和序列引出的下列随机过程序列

xn={xn(t),0≤t≤1} (n=1,2,…),

随机过程的极限定理

式中【nt】表示不大于nt的最大整数。用pn表示xnC【0,1】上导出的概率分布,W 表示由布朗运动B={B(t): 0≤t≤1}在C【0,1】上导出的概率分布(通常称为维纳测度),那么当n趋于∞时,{pn,n≥1}弱收敛到W。这时,也称随机过程序列{xn,n≥1}依分布收敛到B,记作随机过程的极限定理同样,这一结果之所以称为(弱)不变原理,是因为极限分布W 不依赖原序列{ξn,n≥1}的公共分布。唐斯克不变原理所含的内容相当丰富,由它容易推出爱尔特希-卡茨不变原理与中心极限定理。1952年,唐斯克还对杜布指出的结论给出了严格的证明。虽然唐斯克不变原理仅仅讨论了上述特殊的部分和过程的弱极限,但是它开创了一般随机过程弱收敛问题的研究。
  普罗霍罗夫定理 随机过程弱收敛的基本问题是寻求度量空间上概率测度列pn弱收敛到概率测度 p的充分必要条件。ю.Β.普罗霍罗夫和A.B.斯科罗霍德分别就C【0,1】和D【0,1】这两个具体的度量空间得到了下列充分必要条件:
  ① pn的有限维分布弱收敛到 p对应的有限维分布。
  ② {pn,n≥1}是相对紧的,即它的每一个子序列都含有弱收敛的子序列。
  这样,如何验证概率测度族的相对紧性就成为验证概率测度列弱收敛的关键,这方面的重要结果是1956年普罗霍罗夫证明的下列定理:可分完备度量空间E上以A为指标集的概率测度族={pα,α∈A}是相对紧的充分必要条件为Π是胎紧的,即对任给ε>0,存在空间E的紧子集K,使得pα(K)>1-ε对一切α∈A成立。由此,可利用函数论的有关结果给出空间C【0,1】和D【0,1】上概率测度列{pn,n≥1}弱收敛的各种具体条件。
  强不变原理 仍考虑由同一概率空间上独立同分布的随机变量序列{ξn,n≥1}所引出的上述随机过程列xnn=1,2,…。为简单计,假定Eξn=0,varξn=1。用K表示 C【0,1】 中满足如下性质的绝对连续函ƒ(t)的全体:随机过程的极限定理 1964年,V.斯特拉森证明,随机过程列随机过程的极限定理,概率为1地相对紧,而且它的极限点集就是K。这个定理讨论的是随机过程序列概率为1的极限性质,而这一性质也不随ξn的公共分布而改变,故称为“强不变原理”。若考虑Tn(t)在t=1处所取的随机变量,则从斯特拉森强不变原理直接得到经典的重对数律这一相当深刻的结果。1965年,斯特拉森把他的结果推广到情形,以后还被推广到{ξn}为各种相依的情形。
  随机过程的极限定理可以看作是概率论中的经典极限定理在函数空间中的推广,所得到的结果是很深刻的,从弱大数律(见大数律)到中心极限定理是一种精确化,而弱不变原理又把精确化了的中心极限定理推广到随机过程序列的情形。从强大数律到重对数律也是一种精确化,而强不变原理起到了类似的作用。
  参考书目
 P.比林施勒著,戴永隆、钟洵译,《概率测度的收敛性》,上海科学技术出版社,上海。(P. Billingsley,Convergence of Probability Measure,John Wiley & Sons, New York,1968.)
 V.Strassen,An lnvariance Principle for the Law of the lterated Lograithm,Z.Wαhrscheinlichkeits Theorie und Verw. Gebiete,3, pp.211~226,1964.

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更新时间 : 2009-02-20

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