每日一句: Build your own dreams, or someone else will hire you to build theirs. 打造自己的梦想,否则你就会被雇用去打造别人的梦想。 跟读

汉语站

2017年12月14日 星期四

丁酉(鸡)年十月廿七

算子内插 - 算子内插 [回目录]

算子内插 - 正文 [回目录]

  证明算子有界性的一种数学方法。如果算子TLpLq的有界算子,即对所有的ƒLp,有TƒLq,且满足

算子内插

式中M是算子的界,与ƒ无关,就称T是强(p,q)型的。最早也是最典型的算子内插定理是里斯-索林定理。
  里斯-索林定理 如果线性算子T 同时是强(p1,q1)和强(p2,q2)型的,其中1≤pj≤∞,1≤qj≤∞(j=1,2),即

算子内插

则对所有满足

算子内插 (1)

pq,T是强(p,q)型的,即

算子内插

并且M,M1,M2之间满足不等式

算子内插

  可以从几何上来看定理中p,qpjqj的关系。记算子内插则α1、α 2表示区间【0,1】上的两点,α在α1 2之间,设想β是α 的函数,在α1时取值β1,在α 2时取值β2,问β在α点取什么值?关系式(1)表明β的值恰好等于在(α1,β1)和(α 2,β2)作线性内插时的线性函数在α 取的值(图1算子内插)。这就是算子内插这个名称的由来。
  里斯-索林定理说明,要证明一个线性算子TLpLq有界的,只须验证T同时是L算子内插L算子内插L算子内插L算子内插有界的。也就是说,要得到T 是强算子内插型的,只需验证T 在线段的两个端点具有相应的型,即同时是强算子内插型和强算子内插型就可以了。
  下面通过一个典型例子来看如何应用这种算子内插的方法。
  豪斯多夫-杨定理 设弮是ƒ的傅里叶变换,即

算子内插,

算子内插

式中

算子内插

  从算子内插的观点来看这个定理,就显得比较简单。事实上,取p1=2,q1=2,这时不等式算子内插是帕舍伐尔等式的推论。取p2=1,q2=∞,这时显然有 算子内插。用里斯-索林定理便得所要证的结果(图2算子内插)。如果不用算子内插,这定理的证明就困难得多。
  里斯-索林定理的条件可以减弱。首先,线性算子的条件可用次可加性代替,所谓次可加性是指对任意的ƒg,皆有

算子内插

其次,更重要的是定理的强型条件可以用下面的弱型条件代替。称T是弱(p,q)型的(1≤q<∞),如果存在常数C,使得对任意的ƒLp和任意的实数λ>0,有不等式

算子内插

成立,式中m表示勒贝格测度。如果q=∞,则弱(p,q)型用强(p,q)型定义。不难证明,强(p,q)型的算子一定是弱(p,q)型的。这样代替以后,p,q的限制要多一些,这可以叙述为下面的另一个十分基本的内插定理。
  马钦凯维奇内插定理 如果次可加算子 T同时是弱(p1,q1)型和弱(p2,q2)型的,即

算子内插

式中1≤p1q1≤∞,1≤p2q2≤∞, p1<p2,q1q2,则对所有满足

算子内插

的(p, q),T是强(p, q)型的,即

算子内插

  调和分析中的许多重要算子,如哈代-李特尔伍德极大函数,奇异积分算子等的强(p,p)型(1<p<∞),都是用马钦凯维奇内插定理证明的。
  除上述两个定理外,还有许多其他类型的算子内插定理。近代的算子内插理论,已经从Lp空间推广到其他许多的空间, 例如索伯列夫空间、Hp 空间、别索夫空间等等。
  算子内插的方法不仅在调和分析,还在泛函分析偏微分方程的理论中有许多应用。
  参考书目
 E.M.Stein and G.Weiss,lntroduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univ. Press, Princeton, 1971.
 A.Zygmund,Trigonometrical Series,2nd ed., Vol. 1~2,Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1959.

算子内插 - 配图 [回目录]

算子内插 - 相关连接 [回目录]

词条内容仅供参考,如果您需要解决具体问题
(尤其在法律、医学等领域),建议您咨询相关领域专业人士。

标签: 算子内插

同义词: 暂无同义词

词条统计

浏览次数 : 4541 次

编辑次数 : 1 次 历史版本

更新时间 : 2009-06-29

双语连环画