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2017年12月11日 星期一

丁酉(鸡)年十月廿四

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  在数学物理和工程技术中出现的偏微分方程问题,大体上可以分为两类。一类问题是对给定的偏微分方程定解问题,要求出问题的解或揭示解的某些性质。这类问题称为正问题,起着由因推果的作用,对它们的研究在理论和应用上都是比较成熟的,至今仍占着主导的地位。另一类问题是在所考察的偏微分方程定解问题中有不确定的因素,还须利用对解所获得的某些信息来推出方程中的未知系数或源项,决定一部分定解条件或刻画求解区域的形状等等。这类问题称为反问题,起着由果寻因的作用,对它们的研究目前虽然还很不成熟,但由于应用上的迫切需要,已愈来愈为人们所重视,成为当前相当活跃的研究课题。
  在遥测和勘探技术中提出了大量的反问题。例如,在地球物理勘探中,通过地震波的测量来判断地球内部的结构或地下矿藏的位置;在无损探伤中,用红外线扫描来探测固体材料中的缺陷;通过测量地面上的牛顿引力势来推断地下金属矿藏的位置、形状和密度;利用X光分层扫描构像来作医学诊断等等,都是在研究对象不能达到或直接接触的情况下,利用特定的物理手段来取得有关解的某些信息,而化为数学上的反问题来处理的。工程技术中的定向设计及系统识别等方面的问题,都属于反问题的范畴。在量子物理中,利用散射资料来反推位势的反散射问题,也是一类有重要意义的反问题。
  反问题的提法多种多样,且往往在经典的意义下是不适定的。为了求解各种不同形式的反问题,人们已经提出了一些有效的方法,如拉东变换、反散射方法、最优设计方法以及各种正则化方法等,但是还有很多问题有待进一步的研究。

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更新时间 : 2009-04-03

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