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2017年12月13日 星期三

丁酉(鸡)年十月廿六

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  高维数值积分数论方法研究开始于20世纪50年代末,其理论基础是数论中的一致分布论。命Us表示 s维单位立方体。假定数论网格求积分法Us上定义的函数,并假定数论网格求积分法存在且其绝对值以C为界。命数论网格求积分法数论网格求积分法Us中具有偏差D(n)的点集。所谓数论方法就是用被积函数在p(k) (1≤kn)上值的算术平均

数论网格求积分法

作为Us上定积分

数论网格求积分法

的近似值,而误差由下面的公式给出:

数论网格求积分法

  J(ƒp(k))就是由点集p(k)(1≤kn)定义的一个求积公式。因此寻求Us上最佳求积公式的问题即等价于寻求Us上最佳偏差的点集的问题。从计算方法的观点看,不仅要求点集p(k)(1≤kn)的偏差小,而且要求p(k)的形式简单,易于计算。
  ① 科罗博夫-劳卡方法 命p表示素数,a=(α1,α2,…,αs)表示整数向量,科罗博夫和E.劳卡证明了,对于任意p,皆存在a,使点集

数论网格求积分法

有偏差数论网格求积分法。也就是说用点集Q(k)(1≤kp)构造的求积公式有误差数论网格求积分法。对于p求出a的计算量为O(p2)次初等运算。因此当p较大时,算出a来很困难。
  ② 分圆域方法 分圆域数论网格求积分法是一个数论网格求积分法次代数数域。利用 数论网格求积分法的独立单位组可得它的一个适合于   

数论网格求积分法

的单位列nl(l=1,2,…),其中数论网格求积分法表示nl的共轭数。如果使

数论网格求积分法

则得点集

数论网格求积分法

用这一点集构造的求积公式的误差为

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式中ε为任意正数。算出nlhjl(1≤j≤s-1)的计算量为O(lognl)。因此算出nl数论网格求积分法没有困难,但缺点是误差略为偏大些。
  当2≤s≤18时,上述的panlh都已汇编成表,可供查阅。
  数论方法得到的求积公式的误差主阶均与维数无关,所以当s较大时,用数论方法近似计算Us上的定积分比较合算。
  参考书目
 华罗庚、王元著:《数论在近似分析中的应用》,科学出版社,北京,1978。

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更新时间 : 2009-03-12

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