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2017年12月17日 星期日

丁酉(鸡)年十月三十

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流形上的偏微分算子 - 正文 [回目录]

  定义在整个微分流形上的偏微分算子。在一个未知函数的情形,m 阶线性的偏微分算子是MC函数的集合C(M)到C(M)的一个线性映射l,而在每一坐标区域中,l可表示为

流形上的偏微分算子

这里

流形上的偏微分算子

显然,在两个坐标区域的重迭部分,l的两种表示可以通过坐标变换互相转换。例如,黎曼流形上的第二类贝尔特拉米算子,在每一个坐标区域中可表示为

流形上的偏微分算子

这里gij(x)是度量张量的反变分量,流形上的偏微分算子是克里斯托费尔符号(见黎曼几何学)。
  多个未知函数的线性偏微分算子 l可定义如下:设流形上的偏微分算子是定义在M上的向量丛,Г(E1)为C截面的全体,同样Г(E2)表示另一向量丛流形上的偏微分算子C截面的全体,l是Г(E1)到Г(E2)的线性映射,它满足:对每一小的坐标区域U,如果Г(E1)和Г(E2)中的元素在U上的限制可以用m1元和m2元的列向量函数来表示,则l可以写为

流形上的偏微分算子

这里αα(x)是m2×m1阵,m1m2分别是E1E2的纤维的维数。
  在局部坐标下,微分算子的主符σ(l)(ξ)可表示为

流形上的偏微分算子

偏微分算子的类型可由其主符(和通常偏微分算子一样地)来决定。特别,对任何ξ≠0,若 σ(l)(ξ)恒为非异方阵时,算子l就是椭圆型的,例如,第二类贝尔特拉米算子Δ的主符可表示为

流形上的偏微分算子

由于黎曼度量是正定的,所以Δ是椭圆算子。
  对算子l而言,可以定义其象流形上的偏微分算子 其核ker(l)= {u∈Г(E2),lu=0},还可以作余核 Coker(l)=Г(E2)/Im(l),它们都是线性空间。当l是椭圆型偏微分算子时,可以证明Ker(l)和Coker(l)都是有限维的,Ker(l)的维数减去 Coker(l)的维数称为算子l的指标。20世纪60年代,M.F.阿蒂亚和I.M.辛格得到著名的指标定理:椭圆算子l的指标是由向量丛E1、向量丛E2和主符σ(l)所确定的一个拓扑不变量。
  在微分几何中时常要求解由微分算子所定义出来的偏微分方程,这种方程的解是否存在,有多少,往往不仅依赖于方程本身,而且依赖流形的性质。例如贝尔特拉米-拉普拉斯方程
      Δ u=0
在紧致流形上就只有常数解。
  在微分流形中也可以定义非线性的偏微分方程,其重要性也与日俱增,极小曲面方程,蒙日-安培方程、杨-米尔斯方程都是非线性的偏微分方程。

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更新时间 : 2009-05-10

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