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2017年12月12日 星期二

丁酉(鸡)年十月廿五

黎曼-斯蒂尔杰斯积分 - 黎曼-斯蒂尔杰斯积分 [回目录]

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  数学中常用的一种积分。它是黎曼积分的推广。通常利用黎曼积分可以计算几何形体的面积、体积,物理和力学中的功、能,物体的重心和转动惯量以及更一般的矩等等。例如,设【α, b】上分布了一些有质量的物质(或电荷)。如果分布是非均匀的,但有密度,并且密度函数ρ(x)在【αb】上是连续的或黎曼可积的,那么物质(或电荷)对【α,b】外某点c的矩(或电位)可用形式为黎曼-斯蒂尔杰斯积分的黎曼积分来计算。如果计算n次矩,ƒ(x)便是(x-c)n;如果计算位能,ƒ(x)便是黎曼-斯蒂尔杰斯积分。然而,当分布根本没有密度函数时,黎曼积分对上述问题就失效了。因此,数学上有必要引入下面更广泛的积分概念。
  设ƒ(x),g(x)是【α,b】上两个函数(可以是复值函数)。对【α,b】上任何分点组黎曼-斯蒂尔杰斯积分,作和式

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

式中黎曼-斯蒂尔杰斯积分,记黎曼-斯蒂尔杰斯积分,如果存在S,使得黎曼-斯蒂尔杰斯积分,则称ƒ(x)关于g(x)在【α,b】上是黎曼-斯蒂尔杰斯可积的,并称Sƒ(x)关于g(x)的黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)。通常记S黎曼-斯蒂尔杰斯积分。特别,当g(x)=x+с(с是常数)时,上面的积分S 就是ƒ(x)的黎曼积分。又如果g(x)表示【α,x】上总质量或总电荷量,那么g(xi)-g(xi-1)便是(xi-1xi】(当xi-1=α时,应是【xi-1,xi】)上总质量或总电荷量。因此,上述新积分就能用来计算非均匀分布,特别是密度函数不存在时非均匀分布关于某点с的矩或电位。R-S积分是建立一般的曲线积分的基础。
  黎曼-斯蒂尔杰斯积分有下面常用性质。
  ① 如果ƒ(x)、g(x)有一个公共的不连续点,则积分不存在。
  ② 线性性质。设α,β是任何两个复数,如果ƒ(x)关于g1(x)和g2(x)可积,则

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

如果ƒ1(x)、ƒ2(x)关于g(x)都可积,则

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

  ③ 区间可加性。ƒ(x)关于g(x)在【α,b】上可积,当且仅当对任何с∈【α,b】,ƒ(x)关于g(x)分别在【α,с】,【с,b】上都可积,此时

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

  ④ 分部积分公式。如果ƒ(x)关于g(x)可积,则g(x)关于ƒ(x)也必可积,并且

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

  ⑤ 如果ƒ(x)是【α,b】上连续函数,g(x)是【α,b】上有界变差函数,则ƒ(x)关于g(x)可积。
  ⑥ 设ƒ(x)是【α,b】上有界函数,g(x)是【α,b】上的有界变差函数,ωi表示 ƒ(x)在【xi-1,xi】上的振幅,即

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

ƒ(x)关于g(x)可积当且仅当对任何给定的 η>0,和对任何分点组

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

式中    黎曼-斯蒂尔杰斯积分
  ⑦ M-l不等式。如果ƒ(x)是有界函数,g(x)是有界变差函数,并且ƒ(x)关于g(x)可积,则

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

式中黎曼-斯蒂尔杰斯积分g的全变差(见有界变差函数)。
  ⑧ 如果 g(x)是【α,b】上有界变差函数,{ƒn(x)}是【α,b】上关于g(x)可积的一列有界函数,并且一致收敛于ƒ(x),则ƒ(x)必关于g(x)可积,并且

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

  ⑨ 设ƒ(x)是【α,b】上连续函数,{gn(x)}是【α,b】上一列有界变差函数,且处处收敛于函数g(x),又设存在常数K,使黎曼-斯蒂尔杰斯积分,那么ƒ(x)关于g(x)可积,且

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

  随着黎曼积分发展成勒贝格积分,黎曼-斯蒂尔杰斯积分也发展成勒贝格-斯蒂尔杰斯积分(见勒贝格积分)。

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更新时间 : 2009-04-03

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