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2017年12月13日 星期三

丁酉(鸡)年十月廿六

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函数的连续性 - 正文 [回目录]

  描述函数的一种连绵不断变化的状态,即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来,函数在某点连续是指:当自变量趋于该点时,函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
  一元连续函数 设函数ƒ(x)在xα附近(包括x=α处)有定义。若

函数的连续性,     

(*)亦即:对任给ε>0,必有δ>0存在,使当|x-x0|<δ时,恒有|ƒ(x)-ƒ(α)|<ε,则称ƒ(x)在xα处连续,αƒ(x)的连续点。
  如在(*)中,xα改为xα-0或xα+0,即限定x<αx>α,则称ƒ(x)在x=α处左连续或右连续。显然ƒ(x)在x=α处连续的必要充分条件为它在α处左、右都连续。
  如函数的连续性存在,但Aƒ(α)或 ƒ(α)没有意义,则称ƒ(x)在α处为可去间断(可去不连续),因为这时只要改变或补充定义ƒ(α)使其等于A就可使它变得在α处连续;因此,这种不连续常常算作是连续的。如果xα时,则称ƒ(x)在α处有第一类间断,B-A称为其跃度。不属于上述情况的不连续点都称为第二类间断。
  如果ƒ(x)在一开区间(αb)内每一点都连续,则称ƒ(x)在开区间(αb)内连续。ƒ(x)在一闭区间【α,b】上连续是指:在开区间(α,b)内连续,而在α处右连续和b处左连续。
  由此可确切定义几何名词连续曲线。设平面曲线 C可写成参数方程

x =x(t), y =y(t) (αtβ),

其中x(t)、y(t)都是【α,β】上的连续函数,则称C是连续曲线。此定义显然可推广到空间曲线甚至一般的 n维空间中的曲线上去。
  连续函数的性质
  ① 如ƒ(x)、g(x)都在x=α处连续,则ƒ(xg(x),ƒ(x)g(x),函数的连续性 (只要g(α)≠0)也在x=α处连续。
  ② 如ƒ(x)在x=α处连续,且ƒ(α)≠0,则必在xα的某一小δ邻域(即|x-α|<δ)中,ƒ(x)不变号,即ƒ(x)与ƒ(α)同号。
  ③ 在闭区间上的连续函数,必有上界和下界,且有最大值和最小值,并能取最小值和最大值之间的一切中间值。
  还可证明,所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。
  设I为一闭或开的区间,如果任给ε>0,必有δ>0存在,使对I中任何两点xx′,只要|x-x′|<δ,便有|ƒ(x)-ƒ(x′)|<ε,则称ƒ(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理:在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理。
  多元连续函数 设函数的连续性为一 n元函数,这里x=(x1,x2,…,xn)为n维向量或n维空间中一点,而α=( α1,α2,…,αn)为一定点。如果(1)式成立,亦即对任给ε>0,必有δ>0存在,使当

函数的连续性

或者

函数的连续性

时,恒有

ƒ(x)-ƒ(α)|<ε

,则称ƒ(x)在α处连续。也可类似地定义ƒ(x)在n维区域G中连续和一致连续。不过,当αƒ(x)定义域G边界上的一点时,在上面定义中要限制xG及其边界上。
  一元连续函数的上述性质都可推广到多元函数上来,康托尔定理这时也成立,不过在其中区间I要换成有界闭区域。和连续曲线类似,也可定义连续曲面等等。
  以上连续函数的定义也可推广到复变量的复函数上来(见复变函数)。
  连续函数的定义还可推广到一般抽象的拓扑空间的情况。设XY是两个拓扑空间,ƒ:XY是把X映入Y的一个映射,又αX,如果对于ƒ(αY的任一邻域函数的连续性,存在着α的一邻域Uα,使

函数的连续性

则称ƒα点连续。如果ƒX中的每一点都连续,则称ƒXY的一连续映射。

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更新时间 : 2009-07-28

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