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2017年12月13日 星期三

丁酉(鸡)年十月廿六

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弹性体的线性振动 - 正文 [回目录]

  弹性体受到的激励和由此引起的响应呈线性关系的振动。可以用线性方程描述。实际结构的各种小振动都可看作弹性体的线性振动,例如,钢琴中被张紧的弦的振动,带汽缸、螺旋桨的轴系旋转时的扭转振动,钻杆的纵振动以及各种复杂结构的地震响应。
  当弹性体在稳定平衡位置附近振动,而振幅又是够小时,弹性体的应力-应变(见应力应变)关系、应变-位移关系都可以近似当作线性的。因此,所有外界激励因素引起的振动响应是各个激励因素分别引起的响应的叠加,而且响应和激励成正比。
  研究弹性体的线性振动一般是研究其固有振动、自由振动和受迫振动。
  固有振动
 在一定的初始条件下,弹性体将产生一类特殊的振动,其特点是:物体的每点都作同频率、同相位的简谐振动,而各点的振幅保持一定的比例,这种振动称为固有振动,其频率称为固有频率,各点振幅构成的形状称为固有振型或主振型,简称振型。弹性体有无穷个固有振动,有限尺寸的弹性体的固有频率是离散的,若将这些固有频率的数值按升序排列,数列趋于无穷,其中最小的固有频率称为基频。对某些弹性体,有的固有频率对应几个线性独立的振型,但其个数必然是有限的。对应不同固有频率的振型存在着以质量为权函数的正交关系,它表示振型之间没有能量交换。
  自由振动和受迫振动 弹性体受到初干扰就作自由振动。在实际结构中,自由振动会因阻尼作用而逐渐衰减。若弹性体的初位移和初速度和某一固有振型成正比,则自由振动就是相应的固有振动。
  由随时间变化的外力或给定的某些部分的随时间变化的位移引起的振动为受迫振动。若外力随时间作简谐变化,而且变化频率和弹性体的某一固有频率接近,则在一般情况下,振幅会急剧增大,这种现象称为共振。此时弹性体振动的形状近似于相应的振型。共振频率有无穷多个,但由于阻尼的存在,实际上只有在外力的频率和比较低阶的固有频率接近时才可能产生共振。
  弹性体的自由振动和受迫振动都称为弹性体的响应。它们不仅取决于初干扰和外激励,而且取决于固有频率和振型。研究弹性体的响应,可将它们展成固有振型的级数,其系数是时间的函数,它们取决于初干扰、外激励的形式以及激励频率和固有频率的关系。利用振型的正交性可确定这些系数,从而得到弹性体的响应。这就是(固有)振型叠加法。因此,在弹性体的振动分析中,无论避免共振,利用共振的性质,还是确定动态响应,首要的任务是找出固有频率和振型,其方法很多,有理论方法(见计算结构力学),也有实验方法(见振动试验)。
  常见弹性体的固有振动
  ①弦的振动 两端固定的张紧的弦作固有振动时,固有频率为:

弹性体的线性振动

式中l为弦长;T为弦内张力;m1为单位弦长的质量。n=1对应的频率是基频。高阶固有频率和基频的比恰为2、3、……等正整数。上式表明固有频率和弦的长度、质量以及张力的关系。在乐器中,就是通过调整弦的长度、质量、张力等参量,得到预期频率的音调。
  两端固定的张紧弦的固有振型是一族正弦曲线,取一弦端为x轴原点,则对应第n阶固有频率fn的振型为:

φn(x)=Asin(nπx/l),

式中A为最大振幅。 图1表示出两端固定的弦的1、2、3阶振型。 对应不同频率的振型之间的正交关系为:

弹性体的线性振动

  如果弦作第n阶固有振动,则弦的形状始终保持n阶正弦波形,而弦的各个点对时间作频率为fn的简谐振动。除两端固定的边界条件外,弦上有些点的位移始终为零,这些点称为节点。弦的第n阶振型有n-1个节点。因此,由节点的数目可判别固有频率和振型的阶数。
  ②的振动 矩形截面梁作横向振动的振型由正弦、余弦、双曲正弦和双曲余弦函数线性组合而成,其固有频率为:

弹性体的线性振动

式中αn为系数;l为梁长;h为梁截面沿振动方向的高度;ρ为梁的材料密度;E为梁的弹性模量(见材料的力学性能)。上式表示了固有频率同梁的大小以及材料性质的关系,由此可以看出固有频率和梁的宽度无关。上式中的αn取决于梁两端的边界条件。对于简支梁,αn=,从而高阶频率与基频之比为整数的平方4、9、……,其振型和弦一样是一族正弦曲线。对于一端固定一端自由的悬臂梁,α1=1.875,α2=4.694,α3=7.855,相应的1、2、3阶振型如图2所示。

  ③方形膜的振动 膜的振动是二维弹性体的振动。周边固定而且张紧的方形膜的固有频率为:

式中l为膜的宽度;Tl为单位长的边界上的张力;mA为单位面积的膜的质量;nm为任意正整数。与频率fm,n对应的固有振型为:

图3表示出一些方膜的振型。方形膜上位移为零的线称为节线(图中用虚线表示),φ1,2φ2,1的节线分别是yl/2和xl/2。由于φ1,2φ2,1对应同一固有频率,所以根据线性振动的可叠加性,它们的任意线性组合也是这一固有频率的振型(图3之c、之d、之e)。高阶的振型会出现更复杂的图型。

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更新时间 : 2009-02-04

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