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2017年12月12日 星期二

丁酉(鸡)年十月廿五

哈密顿-雅可比方程 - 哈密顿-雅可比方程 [回目录]

哈密顿-雅可比方程 - 正文 [回目录]

  分析力学中求解动力学问题的一个方程,它把质点系动力学中的动力方程用偏微分方程的形式来表示。对于N自由度的完整系统,此方程可写作:

哈密顿-雅可比方程, (1)

式中HT2T0V是哈密顿函数(见正则方程),其中各广义动量pi必须用哈密顿-雅可比方程来代替,S称哈密顿主函数。方程  (1)是W.R.哈密顿于1834年发表的,以此方程求解动力学问题,尚需用1837年建立的雅可比定理,故方程(1)称为哈密顿-雅可比方程。
  建立哈密顿-雅可比方程的方法,对保守系统(H=E)可从系统的总机械能E的表示式T+V入手。例如,质量为m的质点在重力场内做抛射体运动,其机械能 (见)可写作:

哈密顿-雅可比方程

哈密顿-雅可比方程等代入并利用式(1),得:

哈密顿-雅可比方程

又如,行星绕太阳运转的哈密顿函数为:

哈密顿-雅可比方程

式中m为行星的质量;μG(mS+m),mS为太阳质量;G为万有引力常数; λθ分别表示行星的黄经和黄纬。用哈密顿-雅可比方程代换,得:

哈密顿-雅可比方程

     
  雅可比定理可表述为:不论用何种方法,若自方程(1)求出包含 N个任意常数(α1,α2,…,αN)的一个解(称为全积分)S(q1,q2,…,qNα1,α2,…,αNt)(简写为S),则所给力学问题的正则方程的解就是:

。  (2)

最后尚需将 2N个积分常数αiβi(i=1,2,…,N)用初始条件表示出来。
  对于保守系统,HE(常量,可令为α1),于是积分方程(1),得:
         S=-α1t+S1,式中S1不再含时间t
  如果 H 中不含qi, 则 qi可遗坐标, 因之有积分piαi(常量)。由方程(2)的第二式积分后便有:
        S =αiqi+S2 (i厵1),式中S2不再含qi
  结合以上两种情况,对于具有r 个可遗坐标(设为q2,q3,…,qr+1)的保守系统,S可写为:

哈密顿-雅可比方程

式中Sm(q,α)为除时间t和可遗坐标q2,…,qr+1以外其他各qα的函数。
  对于工程上的保守系统, 不宜采用此法, 因为推导繁琐,但它对天体力学的摄动法大有帮助。若用算符代替pxpypz,再将机械能E用代替,则方程式(1)就变成波动力学中的薛定谔方程:

哈密顿-雅可比方程

式中h为普朗克常数;Ψ为与S对应的波函数。
  参考书目
 W. M. Smart, Celestial MechanicsSons,Glasgow,1953.
 汪家訸编:《分析力学》, 高等教育出版社, 北京,1983。

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更新时间 : 2009-06-10

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