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2017年12月13日 星期三

丁酉(鸡)年十月廿六

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摄动函数的展开问题 - 正文 [回目录]

  在天体力学中,所有的分析方法都要对受摄运动方程进行积分,除个别情况外,在积分前,一般必须把摄动函数展开为时间以及所选择变量的显函数,这就是摄动函数的展开问题。这个问题是摄动理论中的基本课题之一。摄动函数展开式的收敛快慢,在一定程度上决定相应的摄动理论的使用效果。
  经典的展开方法是将摄动函数展开为幂级数和三角级数的混合级数,它又称泊松级数。以三体问题为例,摄动函数中包含被摄动天体和摄动天体的轨道要素和时间,而时间则隐含在天体的近点角内。在瞬时轨道为椭圆的情况下,摄动函数展开为两个天体的轨道半长径之比α=α/α ′、偏心率е、е′和两个轨道面交角I一半的正弦sin(I/2)的幂级数,以及平近点角和其他轨道要素(或有关辅助量)的三角级数。当α、е和е′接近于1以及I 较大时,展开式收敛得很慢,甚至不收敛。因此,摄动函数的展开问题实际上就是改进展开式的收敛性问题。二十世纪四十年代以后,不少人研究了各种改进方法。研究得最多的是α接近于1的情况。主要采用的方法有:①用复变函数的线性变换使奇点离变量的应用范围更远些,从而改进展开式的收敛性;②分出形式为(1—α2)-s 的因子或有关项(s为正有理数),再讨论其余项的展开,从而回避α接近于1时的困难;③以中间轨道的摄动函数展开式作为基础,在相应的改正项中只出现天体之间距离的正幂次项,因而不存在α接近于1的困难;④找出既适用于α<1,也适用于α>1的更一般的展开式,以便适用于投影相交轨道情况(如海王星和冥王星的轨道)。以上几种方法都处于试用阶段,但已取得很多成果。
  对于I较大时产生的困难,主要用两种办法解决:①不展开为sin(I/2)的幂级数,而展开为I的三角级数;②展开为cosI的幂级数。另外,不少人用两个天体的瞬时轨道对某惯性参考面的倾角ii′来代替I。对于偏心率ee′较大时产生的困难,虽然有一些解决办法,例如用e=sinφe′=sinφ′,把摄动函数展开为φφ′的三角级数,但效果仍不好,故这个困难依然存在。正因为如此,对于大偏心率轨道的摄动问题(如一些彗星、月球火箭等),还只能用数值方法进行研究。除上述困难外,当两个天体的瞬时轨道的平均角速度接近通约时,在积分受摄运动方程也会出现小分母的困难,这可用共振理论的方法解决。

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更新时间 : 2009-03-29

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